En théorie des cordes ont des propriétés remarquables liées à la théorie des nombres, notamment en ce qui concerne l'invariance modulaire. Ainsi, certaines amplitudes sont déterminées par une classe de valeurs zêta multiples univaluées découvertes par Francis Brown. L'analyse des amplitudes de diffusion a conduit à la découverte de formes modulaires nouvelles généralisant au cas elliptique ces valeurs zêta multiples univaluées. 
Durant cette journée seront présentés divers aspects de la relation entre les propriétés physiques des amplitudes, des développements récents en théorie des nombres, et de nouvelles formes modulaires. Le cours présentera les notions fondamentales qui seront ensuite développées dans deux séminaires.

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-10h - 12h: Cours de Pierre Vanhove (IPhT): Théorie des cordes et théorie des nombres : valeurs multiples zêta univaluées, elliptiques et formes modulaires.
Dans ce cours nous présenterons les relations entre la théorie des nombres et les propriétés physiques des amplitudes. Nous présenterons la relation entre la condition d'univaluation des grandeurs physiques, et la notion introduite par Francis Brown. Nous discuterons le rôle de l'invariance modulaire et l'émergence de nouvelle formes modulaires.

-14h - 15h: Exposé de Federico Zerbini (Oxford): Amplitudes de cordes et équations de type Knizhnik–Zamolodchikov.
Les amplitudes de diffusion nous donnent la probabilité d'interaction des particules élémentaires. L'approche perturbative nous amène à considérer une série dont les coefficients sont calculés par les intégrales de Feynman. En théorie des cordes, un tel développement perturbatif est indexé par un entier qu'on peut interpréter comme le genre d'une surface. Dans la dernière décennie, l'effort conjoint de physiciens et mathématiciens a énormément amélioré notre compréhension des relations entre amplitudes des cordes ouvertes (reliées aux théories de jauge) et des cordes fermées (reliées à la gravité). Je vais donner un aperçu de ces progrès, et notamment du rôle de l'équation de Knizhnik-Zamolodchikov et de ses généralisations en genre supérieur, et de la relation avec la théorie des périodes univaluées.

-15h30 - 16h30: Exposé d’Eric Perlmutter (IPhT): Harnessing SL(2, Z) in Super Yang–Mills and Gravity.
We introduce a new approach to extracting the physical consequences of S-duality for observables of four-dimensional N=4 super Yang-Mills (SYM) theory. The main mathematical tool is the theory of harmonic analysis on the fundamental domain of SL(2,Z). Applying this technology leads to strong constraints on the analytic structure of observables in N=4 SYM. We treat a specific set of integrated correlators in some detail, which simplify drastically when expressed in the SL(2,Z)-invariant eigenbasis. We initiate the study of the statistics of CFT data in the ensemble of N=4 SYM theories. At large N, this has ramifications for holography. In a sense to be made precise, we show an equivalence between observables in the strongly coupled planar theory, dual to type IIB supergravity on AdS5 x S5, and their ensemble average over the N=4 SYM conformal manifold.

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Participation sur place seulement. Le séminaire sera filmé et diffusé en ligne ultérieurement.

Cliquer sur l'image ou sur ce lien pour obtenir l'affiche. 

Inscription obligatoire jusqu'au 10 novembre: https://indico.math.cnrs.fr/event/8429/

Organisation scientifique: Maxim Kontsevich, Stéphane Nonnenmacher, Sylvain Ribault, Pierre Vanhove.

De très nombreux processus naturels opèrent loin de l’équilibre en échangeant de la matière, de l’énergie ou de l’information avec leur environnement. Ces flux, qui brisent l’invariance par retournement temporel, rendent caducs les principes de la thermodynamique et les lois de la physique statistique d’équilibre. Une théorie générale des systèmes hors d’équilibre reste à construire.

Toutefois, pour une grande classe de phénomènes, dits diffusifs, G. Jona-Lasinio et ses collègues ont proposé, dans une série de travaux, à partir de 2001, un cadre formel, la théorie des fluctuations macroscopiques (MFT), qui décrit les fluctuations hors d’équilibre à partir d’un système d’équations d’hydrodynamiques nonlinéaires. Hélas, ces équations sont longtemps demeurées intractables.

Dans un travail récent paru dans Physical Review Letters, K. Mallick (IPhT), H. Moriya and T. Sasamoto (Tokyo Tech.) proposent une solution analytique complète de la MFT pour le processus d’exclusion, un système de particules en interaction et paradigme de la physique statistique. Cette solution s’obtient en utilisant la diffusion inverse, une méthode classique de la physique non-linéaire, utilisée en hydrodynamique et en physique des plasmas. Cette technique puissante se révèle très fructueuse pour une approche quantitative générale des processus hors d’´equilibre, et en particulier pour la compréhension quantitative des évèenements rares et des fluctuations dynamiques qui en résultent.

Certains protocoles de chiffrement qui sont largement utilisés reposent sur des problèmes mathématiques qui sont supposés difficiles à résoudre, comme la factorisation d'entiers en nombres premiers. Cette tâche qui requiert une puissance de calcul considérable, pourrait, à terme, être réalisée facilement avec un calculateur quantique. C'est pourquoi les opérateurs recherchent des protocoles moins vulnérables.

Une solution consiste à utiliser des « clés » cryptographiques composées de suites de nombres aléatoires, qui doivent être partagées seulement par l'émetteur et le récepteur. Ces clés, dont la taille doit être similaire à celle du message à transmettre, servent à la fois à l'encodage et au déchiffrement et doivent être distribuées sans recourir à des problèmes mathématiques ouverts. Des systèmes de distribution quantique de clés ont été développés mais leurs sécurités exigent des équipements idéaux, leurs imperfections se révélant être des failles de sécurité.

Inspiré par les idées proposées par Arthur Ekert il y a 30 ans, des physiciens théoriciens de l'IPhT et leur collègue suisse ont donc imaginé un nouveau concept de distribution quantique de clés dont la sécurité n'est pas sensible à une imperfection instrumentale, sous réserve de performances minimales. Leur concept a été validé par une expérience menée à Oxford montrant qu'il est possible d'envisager des communications ultra-sécurisées pour des données hautement confidentielles (diplomatie, santé, etc.).

Sur quels principes repose cette expérience ?

L'émetteur et le récepteur disposent chacun d'un bit quantique (ou qubit), matérialisé par un ion strontium (Sr⁺) unique. Les deux ions sont préparés dans des états jumeaux (dits intriqués) de sorte que la mesure d'un qubit fournisse un résultat aléatoire, mais toujours identique à celui mesuré sur l'autre qubit. Le caractère aléatoire du résultat est donc bien adapté à la génération de clés cryptographiques, mais comment s'assurer que les deux ions sont intriqués ?

Les chercheurs procèdent à un test (dit de Bell) pour prouver la « violation des inégalités de Bell » (voir l'encadré ci-dessous) et donc l'intrication des ions dont elle est la signature. En une dizaine d'heures, les expérimentateurs ont répété 1,5 millions de fois le test et sont ainsi parvenus à en extraire une clé de 100.000 bits. Les chercheurs envisagent désormais d'adapter leur concept à un prototype de distribution quantique de clés tout-optique, qui pourrait être réalisé par des équipes françaises exclusivement, grâce à des subventions issues du Plan National pour les technologies quantiques.

Pour en savoir plus:

Article dans Nature
Actualité sur le site de la DRF